Juan David Combita Murcia, 20181007017
Electrónica Digital
Grupo 743
Universidad Distrital Francisco José
Introducción:
Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones suma de productos y producto de sumas más simples posibles, conocidas como expresiones mínimas. Como hemos visto, la efectividad de la simplificación algebraica depende de nuestra familiaridad con las leyes, reglas y teoremas del álgebra de Boole y de nuestra habilidad para aplicarlas. Por otro lado, el mapa de Karnaugh es básicamente una “receta” para la simplificación.[1]
I. Objetivos:
Objetivo general:
Afianzar el concepto de mapas de Karnaugh mediante el diseño de un circuito digital con condiciones de no importa.
Objetivos específicos:
1) Estudiar el ejercicio propuesto y obtener la tabla de verdad.
2) Obtener la ecuación por maxtérminos o mintérminos según sea conveniente.
3) Realizar el mapa de Karnaugh para la expresión.
4) Implementar el circuito resultante para resolver el ejercicio.
II. Recursos:
1) Simulador CircuitVerse http://circuitverse.org/.
III. Marco teórico:
Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los valores posibles de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. En lugar de organizar en filas y columnas como una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh es una matriz de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. Las celdas se organizan de manera que la simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas.
Los mapas de Karnaugh se pueden utilizar para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables, pero nos ocuparemos únicamente de los casos de tres variables. Existe otro método denominado método de Quine-McClusky, que puede emplearse para un número mayor de variables.
El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de posibles combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas de una tabla de verdad. Para tres variables, el número de celdas necesarias es de 23 = 8. Para cuatro variables, el número de celdas es de 24 = 16.[1]
Mapa de Karnaugh de tres variables:
El mapa de Karnaugh de tres variables es una matriz de ocho celdas, como se muestra en la Figura 1-a. En este caso, A, B y C se emplean para denominar a las variables, aunque podían haberse usado cualesquiera otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en el lado izquierdo (observe la secuencia) y los valores de C se colocan en la parte superior. El valor de una determinada celda es el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila combinado con el valor de C en la parte superior de la misma columna. Por ejemplo, la celda de la esquina superior izquierda tiene un valor binario de 000 y la celda inferior derecha tiene un valor binario de 101. La Figura 1-b muestra los términos producto estándar representados por cada celda del mapa de Karnaugh.[1]
Figura 1: a - b: Mapa de Karnaugh de tres variables que muestra los términos producto.
Adyacencia de celdas:
Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que sólo cambia una única variable entre celdas adyacentes. La adyacencia se define por un cambio de una única variable. Las celdas que difieren en una única variable son adyacentes. Por ejemplo, en el mapa de tres variables, la celda 010 es adyacente a las celdas 000, 011 y 110. La celda 010 no es adyacente a la celda 001, ni a la celda 111, ni a la celda 100 ni a la celda 101.[1]
Mapa de Karnaugh de una suma de productos estándar (Mintérminos):
Por cada término de la expresión suma de productos, se coloca un 1 en el mapa de Kanaugh en la celda correspondiente al valor del producto. Se coloca un 1 en la celda correspondiente al valor de un término producto. Por ejemplo, para el término , se escribiría un 1 en la celda 101 de un mapa de Karnaugh de tres variables. Tal como se ilustra en la figura 2:[1]
Figura 2: Ejemplo de transformación a mapa de Karnaugh de una suma de productos estándar.
Mapa de Karnaugh de un producto de sumas estándar (Maxtérminos):
Para un producto de sumas en forma estándar, se introduce un 0 en el mapa de Karnaugh por cada término suma de la expresión. Cada 0 se sitúa en la celda correspondiente al valor de un término suma. Por ejemplo, para la suma se escribe un 0 en la celda 010 del mapa de Karnaugh de 3 variables:[1]
Figura 3: Ejemplo de obtención del mapa de Karnaugh de un producto de sumas estándar.
Condiciones indiferentes o no importa:
Algunas veces se producen situaciones en las que algunas combinaciones de las variables de entrada no están permitidas. Por ejemplo, en el código BCD, existían seis combinaciones no válidas: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 y 1111. Dado que estos estados no permitidos no ocurren nunca en una aplicación que emplee el código BCD, pueden considerarse como términos indiferentes con respecto a su efecto en la salida. Esto significa que a estos términos se les puede asignar tanto un 1 como un 0 en la salida; realmente no son importantes dado que nunca van a generarse.
Los términos “indiferentes” o "no importa" pueden utilizarse para aprovechar mejor el método del mapa de Karnaugh. La Figura 4 muestra que, para cada término indiferente, se escribe una X en la celda. Cuando se agrupan los 1s, las X pueden ser consideradas también como 1s para agrandar los grupos, o como 0s si no obtenemos ninguna ventaja. Cuanto mayor sea el grupo, más sencillo será el término resultante.[1]
Figura 4. Ejemplo de la utilización de las condiciones “indiferentes” o "no importa" para simplificar una expresión.
IV. Simulaciones y análisis de resultados:
Para el desarrollo e implementacion de los mapas de Karnaugh en el simulador CircuitVerse, se propone mediante un circuito de 3 entradas de 1 bit, escribir la palabra fácil en un display de 7 segmentos de cátodo común, como aparece en la figura 5, de tal manera que se cumpla lo que contiene la tabla 1. Todo esto usando un unico display el cual debe tener 7 salidas por segmento:
Figura 5. Ejercicio propuesto.
Tabla 1. Tabla de ejemplo propuesta.
Similar al laboratorio 5, se implemento una tabla de 3 entradas con 7 salidas, las cuales representan los 7 segmentos del display:
Esta tabla ilustra las letras de fácil con los números binarios del 0 a 4 decimal respectivamente, debido a esto consideramos a las entradas en binario correspondientes a los decimales 5, 6 y 7 como entradas irrelevantes, las cuales nos ayudaran con la simplificación de las expresiones tomando dichas entradas como términos "no importa".
Para la compresión de cada ecuación resultante de los mapas se realizo el montaje de cada segmento en un subcircuito distinto y se unieron mediante un decodificador, para así, finalmente, implementar este con el respectivo 7 segmentos.
Segmento 1: A partir de maxterminos (Producto de sumas):
Mapa de Karnaugh:
Tomando los términos "no importa (X)” como “0” debido a que estos no afectan el comportamiento en las salidas validas de dicha ecuación, correspondiente hasta 100(binario) o 4(decimal):
La ecuación resultante:
Segmento b = Segmento c: Minterminos (Suma de productos):
Debido a que este par de segmentos comparten las mismas salidas para las mismas combinaciones de entradas se resume a 1 sola ecuación:
Mapa de Karnaugh:
Tomando X=1:
Ecuación resultante:
Segmento d: Minterminos (Suma de productos):
Mapa de Karnaugh:
Tomando X=1:
La ecuación resultante:
Segmento e = Segmento f: Minterminos (Suma de productos):
Mapa de Karnaugh:
Tomando X=1:
La ecuación resultante puede ser cualquiera de las anteriores igualaciones, por lo que se toma la primera:
Segmento g: Minterminos (Suma de productos):
Mapa de Karnaugh:
La ecuación resultante:
Una vez obtenidas las ecuaciones, estas son implementadas en el simulador CircuitVerse, de manera individual cada una, mediante compuertas lógicas:
V. Conclusiones:
Como se observo en la practica, los mapas de Karnaugh nos ayudan a simplificar ecuaciones mediante un algoritmo relativamente sencillo cuando estas no disponen de mas de 5 variables, y mas aun cuando tenemos condiciones "no importa" en dichas ecuaciones o tablas de verdad mediante las cuales se obtuvieron. Sin embargo, no es un procedimiento sistemático, por lo que no incluye mas de 5 variables, por lo que es recomendado el método Quine-McCluskey para desarrollos mas extensos.
VI. Vídeo:
Referencias:
[1] Thomas L. Floyd, fundamentos de sistemas digitales, Madrid, PEARSON EDUCATION S.A., 2006.
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