Juan David Combita Murcia, 20181007017
Electrónica Digital
Grupo 743
Universidad Distrital Francisco José
Introducción:
En 1854, George Boole publicó una obra titulada Investigación de las leyes del pensamiento, sobre las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. En esta publicación se formuló la idea de un “álgebra lógica”, que se conoce hoy en día como álgebra de Boole. El álgebra de Boole es una forma adecuada y sistemática de expresar y analizar las operaciones de los circuitos lógicos. Claude Shannon fue el primero en aplicar la obra de Boole al análisis y diseño de circuitos. En 1938, Shannon escribió su tesis doctoral en el MIT (Massachussets Institute of Technology) titulada Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés.[1]
I. Objetivos:
Objetivo general:
Realizar el análisis completo de un circuito combinacional.
Objetivos específicos:
1) Realizar el montaje en el simulador Circuitverse del circuito combinacional descrito más
adelante.
2) Obtener la ecuación final del circuito
3) Obtener la reducción de la ecuación final mediante el Algebra de Boole
4) Implementar tanto la ecuación del circuito sin reducir como la reducida para ver el
comportamiento
II. Recursos:
Circuitverse: haciendo uso de entradas, salidas y puertas lógicas.
III. Marco teórico:
Operaciones y expresiones booleanas:
El álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales. Es indispensable tener unos conocimientos básicos del álgebra booleana para estudiar y analizar los circuitos lógicos.
Suma booleana: la suma booleana es equivalente a la operación OR y a continuación se muestran sus reglas básicas junto con su relación con la puerta OR:
Figura 1. Suma booleana
En el álgebra de Boole, un término suma es una suma de literales. En los circuitos lógicos, un término suma se obtiene mediante una operación OR, sin que exista ninguna operación AND en la expresión. Un término suma es igual a 1 cuando uno o más de los literales del término es 1. Un término suma es igual a 0 sólo si cada uno de los literales son iguales a 0.[1]
Multiplicación booleana: la multiplicación booleana es equivalente a la
operación AND y sus reglas básicas junto con sus relaciones con la puerta AND se
ilustran a continuación:
Figura 2. Multiplicación booleana
En el álgebra de Boole, un término producto es un producto de literales. En los circuitos lógicos, un término suma se obtiene mediante una operación AND, sin que existe ninguna operación OR en la expresión. Un término producto es igual a 1 sólo si cada uno de los literales del término es 1. Un término producto es igual a 0 cuando uno o más de los literales son iguales a 0.[1]
Leyes y reglas del álgebra booleana:
Las leyes básicas del álgebra de Boole (las leyes conmutativas de la suma y la multiplicación, y las leyes asociativas de la suma y la multiplicación y la ley distributiva) son las mismas que las del álgebra ordinaria.[1]
Reglas del álgebra booleana:
La Tabla 1 enumera las doce reglas básicas, muy útiles, para la manipulación y simplificación de expresiones booleanas. Las nueve primeras reglas las veremos en términos de su aplicación a las puertas lógicas. Las reglas 10 a 12 se obtendrán a partir de las reglas más sencillas y de las leyes ordinarias.[1]
Tabla 1. Reglas básicas del álgebra booleana.
Teoremas de DeMorgan:
Los teoremas de DeMorgan proporcionan una verificación matemática de la equivalencia entre las puertas NAND y negativa-OR, y las puertas NOR y negativa-AND.
Primer teorema: El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables:
Segundo teorema: El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables:[1]
IV. Simulaciones y análisis de resultados:
Para aplicar el álgebra booleana a un circuito lógico, se implemento el siguiente montaje:
Implementando el álgebra booleana, se represento los posibles resultados del anterior circuito lógico mediante la siguiente ecuación:
El anterior circuito lógico requiere, en cuanto a circuitos integrados se refiere, de:
4 - 7404: Inversor séxtuple.
4 - 7408: Cuádruple AND de dos entradas.
1 - 7432: Cuádruple OR de dos entradas.
Para un total de 9 circuitos integrados.
A partir de La Tabla 1, la cual contiene las reglas básica del álgebra booleana y los teoremas de DeMorgan, se llego a siguiente ecuación reducida:
La cual, representándola mediante puertas lógicas:
El anterior circuito lógico requiere de:
1 - 7404: Inversor séxtuple.
2 - 7408: Cuádruple AND de dos entradas.
1 - 7432: Cuádruple OR de dos entradas.
Para un total de 4 circuito integrados.
Luego de realizar los 2 montajes, obtenemos la tabla de verdad, la cual es la misma para ambos circuitos lógicos:
V. Conclusiones:
El algebra booleana nos ayuda a reducir circuitos complejos, los cuales implementan múltiples puertas lógicas, lo que se ve traducido a múltiples circuitos integrados, en otros mas amenos y sencillos de analizar en cuanto a resultados o posibles salidas se refiere, ademas, implementan menos recursos en cuanto a su montaje practico, en la mayoría de reducciones.
Adicional a esto, el funcionamiento del display de 7 segmentos del sistema de control es un buen método para ilustrar la aplicación del álgebra de Boole, de modo que se obtenga la más sencilla implementación en el diseño de circuitos lógicos.
VI. Video:
Ahora, un video en el cual se desarrolla los objetivos planteados al inicio del documento:
VII. Montajes:
Elaborados en CircuitVerse:
Referencias:
[1] Thomas L. Floyd, fundamentos de sistemas digitales, Madrid, PEARSON EDUCATION S.A., 2006.
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